不偏分散の期待値がσ^2になることを確かめる

皆さんこんばんは。寒い日が続きますね。
ついに明日は統計検定1級を受ける日です。準備は進んでおりますでしょうか。
この前日という日に上げるにはかなり基礎的な内容にはなってしまいますが、不偏分散の期待値の計算、いつもしっくりこなかったんですよね。
それが、かなりクリアになる計算方法をやっと確立できたので記事にします。

不偏分散の期待値計算

そもそも不偏分散とは…という説明はこちらのサイトに譲ります。
bellcurve.jp

簡単に言うと、標本分散と同じような統計値ですが、不偏性を持つようにnで割るのではなく(n-1)で割るようにした分散です。
期待値を取るとσ^2になるのですが、その計算をしていきます（統計検定2018年問1などで出題されたことがあります）。

ポイントは青文字で書いた4つです。

ポイント①

身も蓋もないですが、この計算は覚えます。ただ、一度は普通に計算してみても良いかもしれません。
この変形のコツは、最初の二乗式を

このように変形することです。ここから計算していくと、①の変形ができます。

ポイント②

ここは、Σと期待値Eを入れ替えています。式で表すと分かりやすいですよね。
入れ替えて良いかの判断は、一回Σを具体的な値で書き下してみると確認しやすいです。

ポイント③④

これは定義通りです。X_iは、結局確率変数Xに従うため、Var(X)と同じσ^2となります。
Xの平均の分散はσ^2/nとなるのはよく出るので覚えましょう。

おわりに

いろんなサイトにこの計算は載っていましたが、計算するところと覚えるところの良い塩梅が難しく、なかなか自分の中でテンプレ化できないでいましたが、今回、前日になってやっと固まってよかったです。
これで、不偏分散の期待値がどうしても確認したくなった時もばっちり！安心して不偏分散を使いましょう。