現代数理統計学の基礎　第2章　問11, 12

問題文

問題文は、こちらより引用しています。
MathStat_Answers.pdf - Google ドライブ

また、模範解答は上のpdfのp.41から記載されています。

方針（問11）

4つのパートに区切る。

確率関数になることを示す

ここは、以下の2つを満たすことを示せばOK

$f(k) \geq 0$ となること
合計が1になること

合計を計算するときは、無限等比級数の和を考える必要がある。
初項をa、公比をrとしたとき、 $|r| < 1$ の時 $\dfrac {a}{1-r}$ となる。
それを計算すると1になる。

確率母関数の導出

こちらも無限等比級数の和を計算する。
ただ、またしてもsの範囲が引っかかる。
公比が $\dfrac {s}{2}$ なので、範囲は $|s|<2$ かと思いきや、解答では $0 < s < 2$ になっている。
よくわからないが、sは正の値なのか？ここもわかる方コメント募集。

積率母関数の導出

同じく無限等比級数の和を計算する。
tの範囲は、私の考えだと $t < log2$ だと思うが、模範解答にも書いてなかった。
公比が $\dfrac {e^{t}}{2}$ なので、 $-1 < \dfrac {e^{t}}{2} < 1$ となれば収束する。
ただ、 $\dfrac {e^{t}}{2}$ はそもそも0より大きいので、 $\dfrac {e^{t}}{2} < 1$ を解けばよい。
結果、 $t < log2$ となる。

E[X(X-1)…(X-k+1)]の導出

確率母関数 $G(s)$ のk回微分を求めて、s=1を求めればよい。
k回微分は問10の(2)と同じように帰納的に考える。

方針（問12）

(1)

そのまんま計算。分数の割り算に注意して積率母関数を導出する。
平均と分散を考えるときは、ロピタルの定理を使う。意外と計算は短く済む。
あと、 $f(x)=1, 0 < x < 1$ なんだからどう見ても平均は1/2だよね、という検算もできる。

(2)

現代数理統計学の基礎のp.25にある、平方変換 $Y = X^{2}$ の変換
$f_{Y} (y) = \{ f_{X} (\sqrt{y} ) + f_{X} (-\sqrt{y}) \} \dfrac {1}{2 \sqrt{y}}$
を使う。あとは、yの範囲も忘れずに出すこと。

平均と分散については、積率母関数などを使わずに普通に積分で解く。
yの何乗のような形で表せる確率密度関数の平均や分散は、通常の計算方法が一番楽に計算できる。

(3)

$Y = -log(X)$ の変数変換。
普通に考えればよいのだけれど、微分の部分は絶対値であることに注意。
普通に $x = e^{-y}$ をyで微分するとマイナスがつくが、絶対値なので正になるところに注意。

平均と分散は、積率母関数M(t)から導出する。
その際、問10のようにまた発散する/しない問題に直面するが、最終的にt=0を入れるんだから収束するとして計算できる。

(4)

変数変換は単純。
ただ、平均と分散については、(2)と同じく積率母関数ではなく普通に積分で求めるのが楽。
$E[Y^{2}$ ]の計算の際は、 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の因数分解使って解くと楽。
余談だが、この因数分解の式が思い出せなくて、絶望した。脳みそがツルツルになってきている。