現代数理統計学の基礎　第2章　問10

問題文

毎回第2章を解いては解き方を忘れるので、解答の方針を記載することにしました。
問題文は、こちらより引用しています。
MathStat_Answers.pdf - Google ドライブ

また、模範解答は上のpdfのp.40に記載されています。

方針

(1)

積率母関数なので、いつも通り計算するだけ。
ただ、問題はtの範囲。解答では |t|<1と記載されているが、ここがt<1ではないのか？と思っている。
積率母関数を求めるために積分すると、
$\dfrac {1}{t-1} \left[ e^{(t-1)x} \right]^{\infty}_{0}$
という式が出てくるが、eの指数が負に発散すれば $e^{(t-1)x}$ は収束するのだから、t-1<0、つまりt<1においてこの積分計算は収束するように思える。
まぁ、最悪絶対値の付け忘れはマイナス1点だから、気にせず次に進む。
どなたか、ここが絶対値ついて|t|<1となる理由が分かる人いたら、教えてください。

(2)

ここは、積率母関数の微分を3回くらいして、帰納的に法則を見つけてk回微分を計算する。
ちょっと微妙だけどしょうがない。分数の微分間違えないように注意。

(3)

みんな大好き変数変換。
これは結構素直。
$X= \dfrac {Y-\mu}{\sigma}$
と変換出来て、これをf(x)に突っ込みつつ、微分したものを書ければOK。
1点だけ注意は、yの範囲。
変数変換する式 $Y=\sigma X + \mu$ が $x>0$ の時の範囲を求めると、 $y>\mu$ となる。
これで確率密度関数は求められる。